Trigoniser une matrice de taille 2 ou 3 : méthode (MP)

1. Calculer et factoriser $\chi_A$ ; vérifier qu'il est scindé sur $\mathbb K$.
2. Déterminer les sous-espaces propres et en prendre des bases.
3. Compléter la famille obtenue en une base de $\mathbb K^n$ (vecteurs de la base canonique, ou vecteurs de $\mathrm{Ker}(A-\lambda I_n)^2$, voir section 7).
4. Calculer l'image des vecteurs ajoutés, les décomposer dans la nouvelle base, et ordonner la base pour obtenir une matrice triangulaire supérieure.
5. Vérifier $AP=PT$.

Cas $n=2$, $\chi_A=(X-\lambda)^2$, $A\neq\lambda I_2$ : par Cayley-Hamilton, $(A-\lambda I_2)^2=0$. Tout $f_2\notin E_\lambda(A)$ convient : $f_1=(A-\lambda I_2)f_2$ est non nul et vérifie $(A-\lambda I_2)f_1=0$, la famille $(f_1,f_2)$ est libre et $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$.