Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Trace et déterminant

Trace et déterminant : énoncé (MP)

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Trace et déterminant

Si $\chi_A$ est scindé, $\chi_A=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i)$, les $\lambda_i$ étant les valeurs propres répétées selon leur multiplicité, et $$\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i,\qquad\det A=\prod_{i=1}^n\lambda_i,\qquad \mathrm{tr}(A^k)=\sum_{i=1}^n\lambda_i^k\ \ (k\in\mathbb N).$$ Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on applique ce résultat dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ : la trace (resp. le déterminant) est la somme (resp. le produit) des valeurs propres complexes comptées avec multiplicité.

Preuve : $A=QTQ^{-1}$ avec $T$ triangulaire ; la diagonale de $T$ porte les racines de $\chi_T=\chi_A$, c'est-à-dire $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ à l'ordre près. Trace et déterminant sont invariants par similitude. Enfin $A^k=QT^kQ^{-1}$, et $T^k$ est triangulaire de diagonale $(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$.

Exemple

Trigonaliser une matrice 3×3

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&2&1\\0&0&1\end{pmatrix}$. En développant selon la dernière ligne, $\chi_A=(X-1)\big(X(X-2)+1\big)=(X-1)^3$. Contrôle : $\mathrm{tr}(A)=3$, $\det A=1$.

$A-I_3=\begin{pmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ est de rang $1$ : $E_1(A)$ est le plan $-x+y+z=0$, de dimension $2<3$. $A$ n'est pas diagonalisable, mais elle est trigonalisable car $\chi_A$ est scindé.

Base de $E_1(A)$ : $f_1=(1,1,0)$, $f_2=(1,0,1)$. On complète par $f_3=(1,0,0)$, hors du plan. Alors $Af_3=(0,-1,0)$ ; on cherche $(0,-1,0)=af_1+bf_2+cf_3$ : la troisième coordonnée donne $b=0$, la deuxième $a=-1$, la première $a+b+c=0$, soit $c=1$. Donc $Af_3=-f_1+f_3$ et, avec $P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ (colonnes $f_1,f_2,f_3$, $\det P=1$), $$P^{-1}AP=T=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Vérification : $AP=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}=PT$.

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Dans le cours

Réduction des endomorphismes : Trace et déterminant