Caractérisation de la trigonalisabilité : énoncé (MP)

Sens direct. Si $\mathrm{Mat}(u)=T$ est triangulaire supérieure, $\chi_u=\chi_T=\prod_{i=1}^n(X-t_{ii})$ est scindé.

Réciproque, par récurrence sur $n$, sous forme matricielle : « toute $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ dont le polynôme caractéristique est scindé est semblable à une matrice triangulaire supérieure ». Pour $n=1$, c'est clair. Soit $n\geq 2$ ; supposons la propriété vraie au rang $n-1$, et soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ avec $\chi_A$ scindé. $\chi_A$ a une racine $\lambda\in\mathbb K$ ; soit $e_1$ un vecteur propre associé, complété en une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $\mathbb K^n$. Si $Q$ est la matrice de passage de la base canonique à cette base, $$Q^{-1}AQ=\begin{pmatrix}\lambda&L\\0&A'\end{pmatrix},\qquad A'\in\mathcal M_{n-1}(\mathbb K),\ L\in\mathcal M_{1,n-1}(\mathbb K).$$ Par le déterminant triangulaire par blocs, $\chi_A=(X-\lambda)\chi_{A'}$. $\chi_A$ étant scindé, $\chi_{A'}$ l'est aussi (par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles). Par hypothèse de récurrence, il existe $S\in\mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb K)$ telle que $T'=S^{-1}A'S$ soit triangulaire supérieure. On pose $R=Q\begin{pmatrix}1&0\\0&S\end{pmatrix}$, inversible ; par produit par blocs, $$R^{-1}AR=\begin{pmatrix}1&0\\0&S^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda&L\\0&A'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&S\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda&LS\\0&T'\end{pmatrix},$$ qui est triangulaire supérieure.

Sur $\mathbb C$, tout polynôme non constant est scindé (d'Alembert-Gauss).