Soit $$N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_3(\mathbb C).$$
- Calculer $N^2$, $N^3$ et l'indice de nilpotence de $N$.
- Montrer que les matrices qui commutent avec $N$ sont exactement les $aI_3+bN+cN^2$, $(a,b,c)\in\mathbb C^3$. Quelle est la dimension du commutant ?
- En déduire le commutant de $A=2I_3+N$.
- Montrer qu'il n'existe aucune matrice $M\in\mathcal M_3(\mathbb C)$ telle que $M^2=N$.
Multiplier à gauche par $N$ décale les lignes vers le haut ; multiplier à droite décale les colonnes vers la droite.
Une matrice $M$ telle que $M^2=N$ commute avec $N$.
Développer $(aI_3+bN+cN^2)^2$ en utilisant $N^3=0$.
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$Ne_1=0$, $Ne_2=e_1$, $Ne_3=e_2$. Donc $N^2e_3=e_1$ et $N^2e_1=N^2e_2=0$ : $N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq0$, et $N^3=0$. L'indice de nilpotence est $3$.
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Soit $M=(m_{ij})\in\mathcal M_3(\mathbb C)$. La ligne $i$ de $NM$ est la ligne $i+1$ de $M$ (et la dernière est nulle) ; la colonne $j$ de $MN$ est la colonne $j-1$ de $M$ (et la première est nulle) : $$NM=\begin{pmatrix}m_{21}&m_{22}&m_{23}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad MN=\begin{pmatrix}0&m_{11}&m_{12}\\0&m_{21}&m_{22}\\0&m_{31}&m_{32}\end{pmatrix}.$$ L'égalité $NM=MN$ équivaut à : $m_{21}=0$, $m_{22}=m_{11}$, $m_{23}=m_{12}$, $m_{31}=0$, $m_{32}=m_{21}$, $m_{33}=m_{22}$, $m_{31}=0$, $m_{32}=0$. Soit : $m_{21}=m_{31}=m_{32}=0$, $m_{11}=m_{22}=m_{33}=a$, $m_{12}=m_{23}=b$, $m_{13}=c$ quelconque. Donc $$M=\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&b\\0&0&a\end{pmatrix}=aI_3+bN+cN^2.$$ Réciproquement, ces matrices sont des polynômes en $N$, donc commutent avec $N$. Le commutant est $\mathbb C[N]=\mathrm{Vect}(I_3,N,N^2)$ ; la famille $(I_3,N,N^2)$ est libre (positions disjointes des coefficients non nuls), donc le commutant est de dimension $3$, égale à $\deg\pi_N$ puisque $\pi_N=X^3$.
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Pour toute $M$, $MA-AM=2M+MN-2M-NM=MN-NM$. Donc $M$ commute avec $A$ si et seulement si elle commute avec $N$ : le commutant de $A$ est aussi $\{aI_3+bN+cN^2\}$.
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Supposons $M^2=N$. Alors $MN=M^3=NM$, donc $M=aI_3+bN+cN^2$ par la question 2. Comme $N^3=N^4=0$, $$M^2=a^2I_3+2abN+(2ac+b^2)N^2.$$ $(I_3,N,N^2)$ étant libre, $M^2=N$ impose $a^2=0$ et $2ab=1$. La première donne $a=0$, et alors $2ab=0\neq1$ : contradiction. Aucune matrice $M$ ne vérifie $M^2=N$.
$N$ nilpotente d'indice $3$ ; commutant de $N$ (et de $2I_3+N$) $=\{aI_3+bN+cN^2\}$, de dimension $3$ ; $N$ n'a pas de racine carrée dans $\mathcal M_3(\mathbb C)$.