Exercice 15 · Rang d'une matrice réelle annulée par X³ + X² + X
ConcoursClassique d'oral, style CCINP●●●Soit $n\geq1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que $A^3+A^2+A=0$. On note $j=e^{2i\pi/3}$.
- Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$ et que $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(A)\subset\{0,j,\bar j\}$.
- Pour $\lambda\in\mathbb C$, on note $m(\lambda)$ la multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_A$ (nulle si $\chi_A(\lambda)\neq0$). Montrer que $m(j)=m(\bar j)$.
- En déduire que le rang de $A$ est pair.
- Montrer que $\mathrm{tr}(A)=-\frac12\mathrm{rg}(A)$. Vérifier ces résultats sur $C=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$.
Factoriser $X^3+X^2+X$ sur $\mathbb C$.
Si $P\in\mathbb R[X]$, $P^{(k)}(\bar\lambda)=\overline{P^{(k)}(\lambda)}$.
Le rang d'une matrice diagonale est le nombre de ses coefficients diagonaux non nuls ; le rang d'une matrice réelle est le même sur $\mathbb R$ et sur $\mathbb C$.
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$X^3+X^2+X=X(X^2+X+1)=X(X-j)(X-\bar j)$, avec $0$, $j$, $\bar j$ deux à deux distincts. Ce polynôme annule $A$ et est scindé à racines simples sur $\mathbb C$ : $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$. Toute valeur propre est racine d'un annulateur, donc $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(A)\subset\{0,j,\bar j\}$.
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$\chi_A$ est à coefficients réels. Pour tout $k$, $\chi_A^{(k)}$ l'est aussi, donc $\chi_A^{(k)}(\bar j)=\overline{\chi_A^{(k)}(j)}$. Ainsi $\chi_A^{(k)}(j)=0\iff\chi_A^{(k)}(\bar j)=0$, et comme la multiplicité d'une racine est le plus petit $k$ tel que la dérivée $k$-ème ne s'annule pas, $m(j)=m(\bar j)$. On note $m$ cette valeur commune.
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Il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$ et $D$ diagonale telles que $A=QDQ^{-1}$ ; les coefficients diagonaux de $D$ sont les racines de $\chi_D=\chi_A$ répétées selon leur multiplicité : $0$ apparaît $m(0)$ fois, $j$ et $\bar j$ chacun $m$ fois. Le rang est invariant par similitude, donc $\mathrm{rg}_{\mathbb C}(A)=\mathrm{rg}(D)=2m$. Le rang d'une matrice réelle ne dépend pas du corps (c'est la taille maximale d'un mineur non nul), donc $\mathrm{rg}(A)=2m$ est pair.
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La trace est la somme des valeurs propres complexes comptées avec multiplicité : $\mathrm{tr}(A)=m(j+\bar j)=m\cdot(-1)=-m=-\frac12\mathrm{rg}(A)$.
Pour $C$ : $\mathrm{tr}(C)=-1$ et $\det C=0\cdot(-1)-(-1)\cdot1=1$, donc $\chi_C=X^2+X+1$, et par Cayley-Hamilton $C^2+C+I_2=0$, d'où $C^3+C^2+C=C(C^2+C+I_2)=0$. On a $\det C\neq0$, donc $\mathrm{rg}(C)=2$ (pair) et $\mathrm{tr}(C)=-1=-\frac22$.
$A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ avec $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(A)\subset\{0,j,\bar j\}$, $m(j)=m(\bar j)=m$, $\mathrm{rg}(A)=2m$ pair et $\mathrm{tr}(A)=-\mathrm{rg}(A)/2$.