Théorème de FubiniSommabilité
Pour $n\ge2$, on note $\zeta(n)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^n}$.
- Montrer que $\sum_{n=2}^{+\infty}(\zeta(n)-1)=1$.
- En déduire que la famille $\left(\frac{(-1)^n}{k^n}\right)_{n\ge2,\,k\ge2}$ est sommable, puis calculer $\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^n(\zeta(n)-1)$.
Indice 1
$\zeta(n)-1=\sum_{k\ge2}\frac1{k^n}$ : termes positifs, on intervertit librement.
Indice 2
Pour 2, la sommabilité se lit sur les valeurs absolues, déjà calculées en 1.
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