Critère spécial des séries alternées : énoncé (MP)
Critère spécial des séries alternées
Soit $(a_n)$ une suite réelle décroissante et de limite nulle. Alors la série $\sum(-1)^na_n$ converge. De plus, pour tout $n$, le reste $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^ka_k$ :
- a le signe de son premier terme $(-1)^{n+1}a_{n+1}$ ;
- vérifie $|R_n|\le a_{n+1}$.
Démonstration : Critère spécial des séries alternées
Notons $S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^ka_k$. On a $$S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\le0,\qquad S_{2n+3}-S_{2n+1}=a_{2n+2}-a_{2n+3}\ge0,$$ par décroissance de $(a_n)$, et $S_{2n+1}-S_{2n}=-a_{2n+1}\to0$. Les suites $(S_{2n})$ (décroissante) et $(S_{2n+1})$ (croissante) sont adjacentes : elles convergent vers une même limite $S$, et $S_{2p+1}\le S\le S_{2p}$ pour tout $p$. Les deux suites extraites des indices pairs et impairs ayant la même limite, $(S_n)$ converge vers $S$.
Reste. Si $n=2p$ : $S_{2p+1}\le S\le S_{2p}$ donne $-a_{2p+1}\le R_{2p}\le0$. Si $n=2p+1$ : $S_{2p+1}\le S\le S_{2p+2}$ donne $0\le R_{2p+1}\le a_{2p+2}$. Dans les deux cas, $R_n$ a le signe de $(-1)^{n+1}$ et $|R_n|\le a_{n+1}$.
La série harmonique alternée
$\left(\frac1n\right)_{n\ge1}$ décroît vers $0$, donc $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge ; elle ne converge pas absolument. On montrera avec les séries entières que sa somme vaut $\ln2$. Le reste vérifie $|R_n|\le\frac1{n+1}$ : pour avoir $\ln2$ à $10^{-3}$ près par une somme partielle, il faut environ $1000$ termes. La convergence est lente.
Ne pas oublier la décroissance
Avec $a_n=\frac1{\sqrt n}+\frac{(-1)^n}{n}$ ($n\ge1$), on a $a_n\ge0$ et $a_n\to0$, mais $(a_n)$ n'est pas décroissante. Et $$(-1)^na_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$$ est le terme d'une série divergente : convergente plus divergente. Le critère exige les deux hypothèses, à vérifier explicitement.
S’entraîner
- Règle de d'Alembert
- Séries alternées
- Nature par équivalents
- Une série presque alternée
- Équivalents de restes
Dans le cours
Séries numériques et familles sommables : Critère spécial des séries alternées