- Montrer que $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge, mais pas absolument.
- Même question pour $\sum_{n\ge2}\frac{(-1)^n}{\ln n}$.
- On note $S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$. Combien de termes suffit-il de sommer pour obtenir $S$ à $10^{-3}$ près ?
Vérifier les deux hypothèses du critère : décroissance et limite nulle.
Pour 3, utiliser $|R_n|\le a_{n+1}$.
-
$\left(\frac1{\sqrt n}\right)$ est décroissante de limite nulle : la série converge par le critère des séries alternées. $\sum\frac1{\sqrt n}$ diverge (Riemann, $\alpha=\frac12\le1$) : pas de convergence absolue.
-
$\ln$ est croissante et tend vers $+\infty$, donc $\left(\frac1{\ln n}\right)_{n\ge2}$ décroît vers $0$ : convergence. Pour $n\ge2$, $\ln n\le n$, donc $\frac1{\ln n}\ge\frac1n$ et $\sum\frac1{\ln n}$ diverge par comparaison : pas de convergence absolue.
-
Le critère s'applique avec $a_n=\frac1{n^2}$ et donne $|S-S_n|\le\frac1{(n+1)^2}$. Il suffit que $(n+1)^2\ge1000$, soit $n+1\ge32$ ($31^2=961$, $32^2=1024$) : $31$ termes suffisent.
1 et 2 : convergence simple, pas absolue. 3 : $n=31$ termes.