Soit $\alpha>0$. Pour $n\ge2$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^n}$.
- Justifier que $u_n$ est bien défini et calculer $v_n=u_n-\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$.
- En déduire la nature de $\sum u_n$ selon $\alpha$.
- Pour quelles valeurs de $\alpha$ la convergence est-elle absolue ?
Réduire $v_n$ au même dénominateur : il reste un terme de signe constant.
La série de terme $\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge pour tout $\alpha>0$.
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Pour $n\ge2$ et $\alpha>0$, $n^\alpha>1$, donc $n^\alpha+(-1)^n>0$ : $u_n$ est défini. Puis $$v_n=(-1)^n\,\frac{n^\alpha-\left(n^\alpha+(-1)^n\right)}{n^\alpha\left(n^\alpha+(-1)^n\right)}=-\frac{1}{n^\alpha\left(n^\alpha+(-1)^n\right)}.$$ Donc $v_n<0$ et $v_n\sim-\frac1{n^{2\alpha}}$.
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$\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge par le critère des séries alternées ($\alpha>0$). $\sum v_n$ est de signe constant et $-v_n\sim\frac1{n^{2\alpha}}$ : elle converge si et seulement si $2\alpha>1$. Comme $u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+v_n$ :
- si $\alpha>\frac12$, $\sum u_n$ converge (somme de deux séries convergentes) ;
- si $\alpha\le\frac12$, $\sum u_n$ diverge (convergente plus divergente).
- $|u_n|=\frac1{n^\alpha+(-1)^n}\sim\frac1{n^\alpha}$ : convergence absolue si et seulement si $\alpha>1$.
À retenir : pour $\alpha\in\left]0,\frac12\right]$, $u_n\sim\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ et pourtant les deux séries n'ont pas la même nature.
Convergence si et seulement si $\alpha>\frac12$ ; absolue si et seulement si $\alpha>1$.