Série « presque alternée » : développement asymptotique : méthode (MP)

Quand le terme général ressemble à un terme alterné sans en avoir exactement la forme, on écrit un développement $$u_n=\underbrace{\frac{(-1)^n}{n^\alpha}}_{\text{CSSA}}+\underbrace{v_n}_{\text{signe constant}}+\underbrace{O(w_n)}_{\sum w_n\text{ converge}}$$ et on étudie chaque morceau. Exemple : pour $n\ge2$, $$\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\left(1-\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+O\left(\frac1n\right)\right)=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+O\left(\frac1{n^{3/2}}\right).$$ Le premier terme donne une série convergente, le troisième une série absolument convergente, le deuxième une série divergente : la série diverge, bien que son terme soit équivalent à $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$.