Produit de deux séries absolument convergentes : énoncé (MP)
Produit de deux séries absolument convergentes
Si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent absolument, leur produit de Cauchy $\sum w_n$ converge absolument et $$\sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\right).$$
Démonstration : Produit de deux séries absolument convergentes
Notons $A_N=\sum_{p\le N}a_p$, $B_N=\sum_{q\le N}b_q$, $W_N=\sum_{n\le N}w_n$, et $w'_n=\sum_{p+q=n}|a_p||b_q|$ le produit de Cauchy des valeurs absolues.
Cas positif. $\sum_{n\le N}w'_n=\sum_{p+q\le N}|a_p||b_q|\le\left(\sum_{p\le N}|a_p|\right)\left(\sum_{q\le N}|b_q|\right)$, qui est majoré : $\sum w'_n$ converge. Comme $|w_n|\le w'_n$, la série $\sum w_n$ converge absolument.
Valeur de la somme. $A_NB_N-W_N=\sum a_pb_q$ sur les couples $p,q\le N$ avec $p+q>N$. Ces couples vérifient $N<p+q\le2N$, donc $$|A_NB_N-W_N|\le\sum_{n=N+1}^{2N}w'_n\le\sum_{n=N+1}^{+\infty}w'_n\xrightarrow[N\to+\infty]{}0,$$ reste d'une série convergente. Donc $W_N\to\left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$.
L'exponentielle
Pour $z,z'\in\mathbb C$, le produit de Cauchy de $\sum\frac{z^n}{n!}$ et $\sum\frac{z'^n}{n!}$ a pour terme $$\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}\cdot\frac{z'^{n-k}}{(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkz^kz'^{n-k}=\frac{(z+z')^n}{n!}.$$ Les deux séries convergent absolument : $e^ze^{z'}=e^{z+z'}$.
Carré de la série géométrique
Pour $|x|<1$, le produit de Cauchy de $\sum x^n$ par elle-même a pour terme $\sum_{k=0}^nx^kx^{n-k}=(n+1)x^n$. Donc $$\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n=\frac1{(1-x)^2}.$$
L'hypothèse de convergence absolue
Avec $a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$, la série $\sum a_n$ converge (séries alternées), mais pas absolument. Son produit de Cauchy a pour terme $w_n=(-1)^n\sum_{k=0}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$, et l'inégalité $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}\le\frac{n+2}2$ donne $|w_n|\ge\frac{2(n+1)}{n+2}\ge1$ : le produit diverge grossièrement.
S’entraîner
- Règle de d'Alembert
- Séries alternées
- Nature par équivalents
- Produit de Cauchy de la série géométrique
- Une série presque alternée
Dans le cours
Séries numériques et familles sommables : Produit de deux séries absolument convergentes