Étudier une suite d'intégrales : méthode (Terminale spé)

Pour tout entier $n\ge0$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$.

Premier terme. $I_0=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x=\big[\ln(1+x)\big]_0^1=\ln2.$

Signe. Pour $x\in[0\,;\,1]$, $x^n\ge0$ et $1+x>0$, donc $\dfrac{x^n}{1+x}\ge0$. Comme $0\le1$, $I_n\ge0$.

Variations. Par linéarité, $$I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}-x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{1+x}\,\mathrm{d}x.$$ Sur $[0\,;\,1]$, $x^n\ge0$, $x-1\le0$ et $1+x>0$, donc la fonction intégrée est négative et $I_{n+1}-I_n\le0$. La suite $(I_n)$ est décroissante.

Convergence. $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge.

Limite. Pour $x\in[0\,;\,1]$, $1\le1+x\le2$, donc $\dfrac12\le\dfrac{1}{1+x}\le1$, puis, en multipliant par $x^n\ge0$ : $$\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{1+x}\le x^n.$$ On intègre sur $[0\,;\,1]$ avec $\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}$ : $$\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le\frac{1}{n+1}.$$ Les deux bornes tendent vers $0$ ; par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.

Relation de récurrence. Par linéarité, $$I_n+I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}.$$ Ainsi $I_1=1-I_0=1-\ln2$ et $I_2=\dfrac12-I_1=\ln2-\dfrac12$.

Pour $n\ge0$, on pose $J_n=\displaystyle\int_0^1x^n\,e^x\,\mathrm{d}x$. On a $J_0=\big[e^x\big]_0^1=e-1$.

Pour $n\ge0$, on intègre $J_{n+1}$ par parties avec $u(x)=x^{n+1}$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=(n+1)x^n$, $v(x)=e^x$ : $$J_{n+1}=\big[x^{n+1}e^x\big]_0^1-(n+1)\int_0^1x^n\,e^x\,\mathrm{d}x=e-(n+1)J_n.$$ On retrouve $J_1=e-J_0=e-(e-1)=1$, conforme au calcul de la section 4, puis $J_2=e-2J_1=e-2$.