On considère les fonctions $f(x)=-x^2+4x$ et $g(x)=x$ définies sur $\mathbb{R}$, de courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, dans un repère orthogonal d'unités graphiques $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée.
- Déterminer les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
- Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle délimité par ces abscisses.
- Calculer l'aire, en unités d'aire puis en cm$^2$, du domaine compris entre les deux courbes.
Résoudre $f(x)=g(x)$ en factorisant $f(x)-g(x)$.
Le signe de $f(x)-g(x)$ indique quelle courbe est au-dessus.
Une unité d'aire vaut le produit des deux unités graphiques.
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$f(x)-g(x)=-x^2+4x-x=-x^2+3x=x(3-x)$. Donc $f(x)=g(x)\iff x=0$ ou $x=3$. Les courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $3$.
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Sur $[0\,;\,3]$, $x\ge0$ et $3-x\ge0$, donc $f(x)-g(x)\ge0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $[0\,;\,3]$.
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Les fonctions sont continues et $g\le f$ sur $[0\,;\,3]$, donc l'aire cherchée est $$\mathcal{A}=\int_0^3\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x=\int_0^3(3x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac92\text{ u.a.}$$ Une unité d'aire vaut $2\times1=2$ cm$^2$, donc $\mathcal{A}=\dfrac92\times2=9$ cm$^2$.
$\dfrac92$ u.a., soit $9$ cm$^2$