Calculer les intégrales suivantes en donnant la valeur exacte.
- $\displaystyle A=\int_1^3(2x-1)\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle B=\int_0^1e^{2x}\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle C=\int_1^e\frac{3}{x}\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle D=\int_0^{\pi/3}\cos x\,\mathrm{d}x$
Pour chaque fonction, chercher d'abord une primitive dans le tableau des primitives usuelles.
Pour $e^{2x}$, dériver $e^{2x}$ et ajuster la constante multiplicative.
Calculer $F(b)-F(a)$ en mettant $F(a)$ entre parenthèses.
Toutes les fonctions intégrées sont continues sur l'intervalle d'intégration, ce qui permet d'utiliser $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ avec $F$ primitive de $f$.
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Une primitive de $x\mapsto2x-1$ est $x\mapsto x^2-x$. $$A=\big[x^2-x\big]_1^3=(9-3)-(1-1)=6.$$
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La dérivée de $x\mapsto e^{2x}$ est $x\mapsto2e^{2x}$, donc une primitive de $x\mapsto e^{2x}$ est $x\mapsto\dfrac12e^{2x}$. $$B=\left[\frac12e^{2x}\right]_0^1=\frac12e^2-\frac12e^0=\frac{e^2-1}{2}.$$
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Sur $[1\,;\,e]\subset\,]0\,;\,+\infty[$, une primitive de $x\mapsto\dfrac3x$ est $x\mapsto3\ln x$. $$C=\big[3\ln x\big]_1^e=3\ln e-3\ln1=3.$$
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Une primitive de $\cos$ est $\sin$. $$D=\big[\sin x\big]_0^{\pi/3}=\sin\frac{\pi}{3}-\sin0=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Contrôle : les quatre fonctions sont positives sur leur intervalle et la borne du bas est inférieure à celle du haut ; les quatre résultats sont bien positifs.
$A=6$ ; $B=\dfrac{e^2-1}{2}$ ; $C=3$ ; $D=\dfrac{\sqrt3}{2}$