Le plan est muni d'un repère orthonormé. Sans calcul de primitive pour les questions 1 à 3, déterminer :
- $\displaystyle\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x$ en reconnaissant un trapèze.
- $\displaystyle\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x$ en reconnaissant une portion de disque.
- $\displaystyle\int_0^3|x-1|\,\mathrm{d}x$ en découpant le domaine avec la relation de Chasles.
- Vérifier le résultat de la question 1 à l'aide d'une primitive.
Une fonction affine positive donne un trapèze : aire $=\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times\text{hauteur}}{2}$.
Si $y=\sqrt{4-x^2}$, alors $y\ge0$ et $x^2+y^2=4$.
Pour $|x-1|$, distinguer $x\le1$ et $x\ge1$ : chaque morceau est un triangle.
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La fonction $x\mapsto2x+1$ est continue et positive sur $[1\,;\,3]$. Le domaine sous la courbe est un trapèze de bases $f(1)=3$ et $f(3)=7$ et de hauteur $3-1=2$ : $$\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x=\frac{(3+7)\times2}{2}=10.$$
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Pour $x\in[-2\,;\,2]$, posons $y=\sqrt{4-x^2}$. Alors $y\ge0$ et $x^2+y^2=4$ : la courbe est le demi-cercle supérieur de centre $O$ et de rayon $2$. Le domaine sous la courbe est un demi-disque de rayon $2$, d'aire $\dfrac{\pi\times2^2}{2}=2\pi$. Donc $$\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x=2\pi.$$
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Sur $[0\,;\,1]$, $|x-1|=1-x$ ; sur $[1\,;\,3]$, $|x-1|=x-1$. Par la relation de Chasles, $$\int_0^3|x-1|\,\mathrm{d}x=\int_0^1(1-x)\,\mathrm{d}x+\int_1^3(x-1)\,\mathrm{d}x.$$ Le premier domaine est un triangle rectangle de côtés $1$ et $1$, d'aire $\dfrac12$. Le second est un triangle rectangle de côtés $2$ (de $x=1$ à $x=3$) et $2$ (hauteur en $x=3$), d'aire $\dfrac{2\times2}{2}=2$. Donc $$\int_0^3|x-1|\,\mathrm{d}x=\frac12+2=\frac52.$$
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Une primitive de $x\mapsto2x+1$ est $x\mapsto x^2+x$ : $$\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x=\big[x^2+x\big]_1^3=(9+3)-(1+1)=10.$$ On retrouve bien le résultat géométrique.
$10$ ; $2\pi$ ; $\dfrac52$