On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $$F(x)=\int_0^x(1-t)\,e^{t^2}\,\mathrm{d}t.$$ On ne cherche pas à exprimer $F$ à l'aide des fonctions usuelles.
- Donner $F(0)$.
- Justifier que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $F'(x)$.
- Dresser le tableau de variations de $F$ sur $\mathbb{R}$ (sans les limites).
- Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $F$ au point d'abscisse $0$.
- Montrer que pour tout $t\in[0\,;\,1]$, $1-t\le(1-t)e^{t^2}\le e(1-t)$. En déduire un encadrement de $F(1)$.
- En déduire que pour tout réel $x$, $F(x)\le\dfrac{e}{2}$.
$F$ est la primitive de $t\mapsto(1-t)e^{t^2}$ qui s'annule en $0$.
Le signe de $F'(x)$ est celui de $1-x$, car une exponentielle est strictement positive.
Pour la question 5, encadrer $e^{t^2}$ puis multiplier par $1-t\ge0$. Pour la question 6, utiliser le maximum de $F$.
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$F(0)=\displaystyle\int_0^0(1-t)e^{t^2}\,\mathrm{d}t=0$.
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La fonction $t\mapsto(1-t)e^{t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (produit d'un polynôme et de la composée d'un polynôme par l'exponentielle). D'après le théorème fondamental, $F$ est la primitive de cette fonction sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$. Elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$F'(x)=(1-x)\,e^{x^2}.$$
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Comme $e^{x^2}>0$, $F'(x)$ a le signe de $1-x$ : positif sur $]-\infty\,;\,1]$, négatif sur $[1\,;\,+\infty[$, nul en $1$.
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $F'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| $F$ | croissante | $F(1)$ | décroissante |
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La tangente en $0$ a pour équation $y=F'(0)(x-0)+F(0)$. Or $F'(0)=1\times e^0=1$ et $F(0)=0$, donc la tangente a pour équation $y=x$.
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Pour $t\in[0\,;\,1]$, $0\le t^2\le1$, donc par croissance de l'exponentielle $1\le e^{t^2}\le e$. Comme $1-t\ge0$, on peut multiplier sans changer le sens : $$1-t\le(1-t)e^{t^2}\le e(1-t).$$ Comme $0\le1$, on intègre cet encadrement sur $[0\,;\,1]$ par croissance de l'intégrale. Or $$\int_0^1(1-t)\,\mathrm{d}t=\left[t-\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac12.$$ Donc, par linéarité, $$\frac12\le F(1)\le\frac{e}{2}.$$
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D'après le tableau de variations, $F$ admet un maximum en $x=1$ : pour tout réel $x$, $F(x)\le F(1)$. Avec la question 5, $F(x)\le F(1)\le\dfrac{e}{2}$.
$F'(x)=(1-x)e^{x^2}$ ; tangente $y=x$ ; $\dfrac12\le F(1)\le\dfrac e2$