Terminale › Calcul intégral › Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque : définition (Terminale spé)

Définition

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels de $I$, et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. On définit $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$ Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : si $G=F+c$, alors $G(b)-G(a)=F(b)-F(a)$.

Conséquence immédiate : $\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

Le théorème fondamental reste vrai : pour $f$ continue sur $I$ et $a\in I$, la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.

Exemple

Calculs d'intégrales

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13-0=\frac13.$
$\displaystyle\int_0^1(3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x=\big[x^3-x^2+x\big]_0^1=1-0=1.$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x=\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}=1-0=1.$
$\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos0)=1+1=2.$
$\displaystyle\int_1^2\frac1x\,\mathrm{d}x=\big[\ln x\big]_1^2=\ln2.$
Forme $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$ : $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x=\big[e^{x^2}\big]_0^1=e-1.$
Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1>0$ : $\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac12\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac12\big[\ln(x^2+1)\big]_0^1=\frac{\ln2}{2}.$

S’entraîner

Dans le cours

Calcul intégral : Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque