Calculer une intégrale avec une primitive : méthode (Terminale spé)
Calculer une intégrale avec une primitive
- Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle d'intégration.
- Reconnaître une forme usuelle ($x^n$, $e^{ax+b}$, $u'e^u$, $\frac{u'}{u}$, $u'u^n$, $\cos$, $\sin$…) et ajuster les constantes multiplicatives.
- Écrire une primitive $F$ entre crochets, puis calculer $F(b)-F(a)$ en mettant $F(a)$ entre parenthèses.
- Contrôler la vraisemblance : si $f\ge0$ et $a\le b$, le résultat doit être positif.
Étudier une fonction définie par une intégrale
Soit $G(x)=\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. On ne connaît pas d'expression de $G$ avec les fonctions usuelles, mais on peut l'étudier.
La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème fondamental, $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $G'(x)=e^{-x^2}$. Comme $e^{-x^2}>0$, $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus $G(0)=0$, donc $G(x)<0$ pour $x<0$ et $G(x)>0$ pour $x>0$.
Le logarithme comme intégrale
Pour $x>0$, $\ln x=\displaystyle\int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t$ : c'est la primitive de $t\mapsto\frac1t$ sur $]0\,;\,+\infty[$ qui s'annule en $1$. Pour $x>1$, $\ln x$ est donc l'aire sous l'hyperbole d'équation $y=\frac1t$ entre $1$ et $x$.
S’entraîner
- Calculs directs d'intégrales
- Intégrales et aires géométriques
- Linéarité et relation de Chasles
- Primitives de fonctions composées
- Valeurs moyennes