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Construire le triangle de Pascal : méthode (Terminale spé)

Méthode

Construire le triangle de Pascal

On place les coefficients $\binom{n}{k}$ dans un tableau : la ligne $n$, la colonne $k$ (avec $0\leqslant k\leqslant n$).
Sur chaque ligne, le premier et le dernier coefficient valent $1$ ($\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$).
Chaque autre coefficient est la somme du coefficient situé juste au-dessus et de celui situé au-dessus à gauche (formule de Pascal).

$n$ \ $k$	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

Chaque ligne est symétrique : c'est la propriété $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

Exemple

Utiliser la formule de Pascal

$\binom{6}{3}=\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20$.
Ligne $n=7$ à partir de la ligne 6 : $1$ ; $1+6=7$ ; $6+15=21$ ; $15+20=35$ ; $20+15=35$ ; $15+6=21$ ; $6+1=7$ ; $1$.
Vérification par la formule : $\binom{7}{3}=\dfrac{7\times6\times5}{6}=35$.

Remarque

Formule du binôme (hors programme)

Le nom « coefficients binomiaux » vient de la formule du binôme de Newton : pour tous réels $a$, $b$ et tout entier $n$, $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}.$$ Par exemple $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ : on retrouve la ligne $1,3,3,1$. Cette formule n'est pas exigible dans ce chapitre ; elle est donnée pour la culture et sera démontrée dans l'enseignement supérieur.

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Dans le cours

Combinatoire et dénombrement : Construire le triangle de Pascal

Formule de Pascal