Exercice corrigé : Triangle de Pascal, programme et commissions paritaires

Partie A : un programme

On considère la fonction Python suivante, dont une ligne est incomplète.

def pascal(n):
    L = [1]
    for i in range(n):
        M = [1]
        for j in range(1, len(L)):
            M.append(.......)
        M.append(1)
        L = M
    return L

Elle doit renvoyer la liste des coefficients de la ligne $n$ du triangle de Pascal, c'est-à-dire $\left[\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}\right]$.

1. Que renvoient pascal(0) et pascal(1) ?
2. Compléter la ligne en pointillés et justifier à l'aide d'une formule du cours.
3. Que renvoie pascal(5) ?

Partie B : une identité

Soit $n\geqslant1$. Un groupe est formé de $n$ femmes et $n$ hommes. On forme une commission de $n$ personnes, sans rôle particulier.

4. Combien de commissions sont possibles ?
5. Pour $0\leqslant k\leqslant n$, montrer que le nombre de commissions comportant exactement $k$ femmes est $\binom{n}{k}^2$.
6. En déduire que $\displaystyle\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2$.
7. Vérifier cette égalité pour $n=4$, à l'aide de la liste renvoyée par pascal(4).

Partie C : tirage au sort

Dans cette partie, $n=4$ : le groupe compte 4 femmes et 4 hommes, et la commission de 4 personnes est tirée au sort, toutes les commissions étant équiprobables.

8. Calculer la probabilité que la commission soit paritaire (2 femmes et 2 hommes).
9. Calculer la probabilité que la commission comporte plus de femmes que d'hommes.
10. Calculer la probabilité que la commission comporte au moins une femme.