Soit $n$ un entier naturel non nul.
- Montrer par le calcul que, pour tout entier $k$ tel que $1\leqslant k\leqslant n$ : $$k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}.$$
- Un groupe compte $n$ personnes. On forme un comité de $k$ personnes, puis on désigne un président parmi les membres du comité. En comptant de deux façons le nombre de résultats possibles, retrouver l'égalité de la question 1.
- En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}=n\,2^{n-1}$.
- Vérifier ce résultat pour $n=4$.
- Retrouver le résultat de la question 3 directement, en dénombrant les couples (comité non vide, président de ce comité).
Écrire $k!=k\times(k-1)!$ et $n!=n\times(n-1)!$.
Deuxième façon : choisir d'abord le président, puis les autres membres du comité.
Dans la question 3, effectuer le changement d'indice $j=k-1$ et reconnaître une somme de ligne du triangle de Pascal.
Pour la question 5, choisir le président, puis décider pour chacune des autres personnes si elle est dans le comité.
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Pour $1\leqslant k\leqslant n$ : $$\begin{aligned}k\binom{n}{k}&=\frac{k\times n!}{k!\,(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}\\&=\frac{n\times(n-1)!}{(k-1)!\,\big((n-1)-(k-1)\big)!}=n\binom{n-1}{k-1}.\end{aligned}$$
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Première façon. On choisit le comité, partie à $k$ éléments du groupe ($\binom{n}{k}$ choix), puis le président parmi ses $k$ membres ($k$ choix). Il y a $k\binom{n}{k}$ résultats.
Deuxième façon. On choisit d'abord le président parmi les $n$ personnes ($n$ choix), puis les $k-1$ autres membres parmi les $n-1$ personnes restantes ($\binom{n-1}{k-1}$ choix). Il y a $n\binom{n-1}{k-1}$ résultats.
On a compté le même ensemble de deux façons, donc $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$.
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D'après la question 1 : $$\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}=n\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}=n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j},$$ en posant $j=k-1$. La dernière somme est celle de la ligne $n-1$ du triangle de Pascal, égale à $2^{n-1}$. Donc $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}=n\,2^{n-1}$.
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Pour $n=4$ : $1\times4+2\times6+3\times4+4\times1=4+12+12+4=32$ et $4\times2^3=32$. Le résultat est vérifié.
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Par le principe additif selon la taille $k$ du comité, le nombre de couples (comité non vide, président) vaut $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}$. Autre façon : on choisit le président ($n$ choix), puis le reste du comité, qui est une partie quelconque (éventuellement vide) des $n-1$ autres personnes ($2^{n-1}$ choix). Il y a donc $n\,2^{n-1}$ couples, ce qui redonne l'égalité.
$\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}=n\,2^{n-1}$ ; pour $n=4$ : 32