Exercice corrigé : Prolonger le triangle de Pascal

La ligne $n=6$ du triangle de Pascal est : $1$ ; $6$ ; $15$ ; $20$ ; $15$ ; $6$ ; $1$.

1. À l'aide de la formule de Pascal, écrire les lignes $n=7$ et $n=8$.
2. En déduire $\binom{8}{3}$, $\binom{8}{4}$ et $\binom{8}{5}$.
3. Vérifier la valeur de $\binom{8}{3}$ à l'aide de l'expression $\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$.
4. Calculer la somme des coefficients de la ligne 8 et comparer avec $2^8$.