Soit $k$ un entier naturel fixé. Pour tout entier $n\geqslant k$, on pose $$S_n=\sum_{j=k}^{n}\binom{j}{k}=\binom{k}{k}+\binom{k+1}{k}+\cdots+\binom{n}{k}.$$
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant k$, $S_n=\binom{n+1}{k+1}$.
- En déduire la valeur de $\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{10}{2}$, puis la vérifier par un calcul direct.
- Retrouver, à l'aide de la question 1, l'égalité $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ pour $n\geqslant1$.
- Vérifier que, pour tout entier $j\geqslant1$, $j^2=2\binom{j}{2}+\binom{j}{1}$, puis en déduire que, pour tout $n\geqslant 2$, $$1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Pour l'hérédité, écrire $S_{n+1}=S_n+\binom{n+1}{k}$.
Appliquer la formule de Pascal à $\binom{n+2}{k+1}$ en vérifiant les conditions sur les indices.
Pour la question 3, prendre $k=1$.
Pour la question 4, utiliser la question 1 avec $k=2$ et avec $k=1$, puis factoriser par $n(n+1)$.
- Pour $n\geqslant k$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $S_n=\binom{n+1}{k+1}$ ».
Initialisation. $S_k=\binom{k}{k}=1$ et $\binom{k+1}{k+1}=1$. $\mathcal{P}(k)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\geqslant k$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. Alors $$S_{n+1}=S_n+\binom{n+1}{k}=\binom{n+1}{k+1}+\binom{n+1}{k}.$$ On applique la formule de Pascal $\binom{N}{K}=\binom{N-1}{K-1}+\binom{N-1}{K}$ avec $N=n+2$ et $K=k+1$ ; elle est valable car $1\leqslant k+1\leqslant n+1=N-1$. On obtient $S_{n+1}=\binom{n+2}{k+1}$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $n\geqslant k$, $S_n=\binom{n+1}{k+1}$.
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Avec $k=2$ et $n=10$ : $\sum_{j=2}^{10}\binom{j}{2}=\binom{11}{3}=\dfrac{11\times10\times9}{6}=165$. Calcul direct : $1+3+6+10+15+21+28+36+45=165$.
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Avec $k=1$ : $\sum_{j=1}^{n}\binom{j}{1}=\sum_{j=1}^{n}j=\binom{n+1}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}$.
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Pour $j\geqslant 2$ : $2\binom{j}{2}+\binom{j}{1}=j(j-1)+j=j^2$. Pour $j=1$ : $\binom{1}{2}=0$ et $2\times0+1=1=1^2$. L'égalité est vraie pour tout $j\geqslant1$.
En sommant de $j=1$ à $n$, avec $\binom{1}{2}=0$ : $$\sum_{j=1}^{n}j^2=2\sum_{j=2}^{n}\binom{j}{2}+\sum_{j=1}^{n}\binom{j}{1}=2\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{2}.$$ Or $2\binom{n+1}{3}=\dfrac{(n+1)n(n-1)}{3}$ et $\binom{n+1}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}$. Donc $$\sum_{j=1}^{n}j^2=n(n+1)\left(\frac{n-1}{3}+\frac12\right)=n(n+1)\times\frac{2n-2+3}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
$S_n=\binom{n+1}{k+1}$ ; 165 ; $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$