Dénombrer « au moins un » : méthode (Terminale spé)
Dénombrer « au moins un »
Pour compter les objets possédant au moins une fois une propriété :
- compter le total $\mathrm{card}(E)$ ;
- compter les objets qui ne la possèdent aucune fois (le complémentaire), souvent plus simple ;
- faire la différence.
Ne jamais « choisir d'abord l'élément imposé, puis compléter librement » : cela compte plusieurs fois les objets qui possèdent la propriété plusieurs fois.
Mains de 5 cartes et as
On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes, qui contient 4 as. Il y a $\binom{32}{5}=201\,376$ mains.
Mains contenant exactement 2 as. On choisit les 2 as parmi 4, puis les 3 autres cartes parmi les 28 cartes qui ne sont pas des as : $$\binom{4}{2}\times\binom{28}{3}=6\times\frac{28\times27\times26}{6}=6\times3276=19\,656.$$
Mains contenant au moins un as. Les mains sans as sont les parties à 5 éléments des 28 cartes qui ne sont pas des as : $$\binom{28}{5}=\frac{28\times27\times26\times25\times24}{120}=98\,280.$$ Donc il y a $201\,376-98\,280=103\,096$ mains contenant au moins un as.
Lien avec les probabilités. Les mains étant équiprobables, la probabilité d'obtenir exactement 2 as vaut $\dfrac{19\,656}{201\,376}\approx0{,}098$.
Le faux raisonnement pour « au moins un as »
Raisonnement faux : « on choisit un as (4 choix), puis 4 cartes quelconques parmi les 31 restantes », ce qui donne $4\times\binom{31}{4}=4\times31\,465=125\,860$.
Ce nombre dépasse le bon résultat $103\,096$. La main $\{\text{as de cœur};\ \text{as de pique};\ldots\}$ est comptée une fois en choisissant d'abord l'as de cœur, une autre fois en choisissant d'abord l'as de pique : les mains à plusieurs as sont comptées plusieurs fois.
Chemins sur un quadrillage
Sur un quadrillage, on va du point $(0;0)$ au point $(4;3)$ en ne faisant que des pas d'une unité vers la droite (D) ou vers le haut (H).
Un chemin comporte 7 pas : 4 pas D et 3 pas H. Il est entièrement déterminé par les positions des 3 pas H parmi les 7 pas, c'est-à-dire une partie à 3 éléments de $\{1;2;\ldots;7\}$. Le nombre de chemins est $$\binom{7}{3}=\frac{7\times6\times5}{6}=35.$$
Anagrammes avec lettres répétées
Le mot ANANAS comporte 6 lettres : 3 A, 2 N et 1 S. Une anagramme est déterminée par :
- les positions des 3 A parmi les 6 places : $\binom{6}{3}=20$ choix ;
- puis les positions des 2 N parmi les 3 places restantes : $\binom{3}{2}=3$ choix ;
- le S occupe la dernière place.
Par le principe multiplicatif : $20\times3=60$ anagrammes.
On ne compte pas $6!=720$ : permuter entre eux les A, ou les N, ne change pas le mot. On retrouve $\dfrac{6!}{3!\times2!\times1!}=\dfrac{720}{12}=60$.
Tirages et probabilités
En probabilités, le choix du modèle dépend de l'expérience :
- tirages successifs avec remise de $k$ boules parmi $n$ : $n^k$ issues ;
- tirages successifs sans remise : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ issues ;
- tirage simultané : $\binom{n}{k}$ issues.
Pour un même événement, on doit utiliser le même modèle au numérateur et au dénominateur de $P(A)=\dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}$.
S’entraîner
- Codes à quatre chiffres
- Parties d'un ensemble à six éléments
- Entiers à trois chiffres
- Délégation dans une classe
- Couples de parties emboîtées