On considère les entiers naturels qui s'écrivent avec exactement trois chiffres en base dix, c'est-à-dire de $100$ à $999$. Le premier chiffre n'est donc jamais $0$.
- Combien y a-t-il de tels entiers ?
- Combien ont leurs trois chiffres deux à deux distincts ?
- Combien sont pairs et ont leurs trois chiffres deux à deux distincts ?
- Combien ont au moins deux chiffres égaux ?
Remplir trois cases : centaines, dizaines, unités, en commençant par la plus contrainte.
Pour la question 2, le chiffre des dizaines peut être 0 mais doit différer du premier.
Pour la question 3, distinguer le cas où le chiffre des unités est 0 et le cas où il vaut 2, 4, 6 ou 8.
La question 4 est le contraire de la question 2.
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Chiffre des centaines : 9 choix (de 1 à 9) ; dizaines : 10 choix ; unités : 10 choix. Par le principe multiplicatif : $9\times10\times10=900$ entiers (on retrouve $999-100+1=900$).
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Centaines : 9 choix (non nul). Dizaines : 9 choix (tous les chiffres sauf celui des centaines, 0 compris). Unités : 8 choix. Donc $9\times9\times8=648$ entiers.
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Un entier est pair si son chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$. On distingue deux cas disjoints.
- Unités égales à 0. Centaines : 9 choix (de 1 à 9). Dizaines : 8 choix (ni 0, ni le chiffre des centaines). Soit $9\times8=72$ entiers.
- Unités dans $\{2;4;6;8\}$. Unités : 4 choix. Centaines : 8 choix (ni 0, ni le chiffre des unités). Dizaines : 8 choix (tous sauf les deux chiffres déjà utilisés, 0 compris). Soit $4\times8\times8=256$ entiers.
Par le principe additif : $72+256=328$ entiers pairs à chiffres distincts.
- « Au moins deux chiffres égaux » est le contraire de « trois chiffres distincts ». Donc $900-648=252$ entiers.
900 ; 648 ; 328 ; 252