Un code est une suite de 4 chiffres pris dans $\{0;1;\ldots;9\}$, par exemple $0712$ ou $3303$.
- Combien existe-t-il de codes ?
- Combien de codes ont leurs 4 chiffres deux à deux distincts ?
- Combien de codes contiennent au moins un chiffre $0$ ?
- Un digicode d'immeuble est formé d'une lettre choisie parmi A, B, C, D, suivie de 3 chiffres. Combien existe-t-il de digicodes ?
L'ordre des chiffres compte-t-il ? Un chiffre peut-il être répété ?
Pour la question 2, compter le nombre de choix pour chacune des 4 positions successives.
Pour « au moins un 0 », compter d'abord les codes sans aucun 0.
Pour la question 4, la construction se fait en deux étapes successives.
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Un code est un 4-uplet d'éléments de $\{0;\ldots;9\}$ : l'ordre compte et les répétitions sont permises. Cet ensemble a 10 éléments, donc il y a $10^4=10\,000$ codes.
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Il s'agit de 4-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à 10 éléments : $10\times9\times8\times7=5040$ codes.
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On passe par le complémentaire. Les codes sans aucun 0 sont les 4-uplets de $\{1;\ldots;9\}$, ensemble à 9 éléments : il y en a $9^4=6561$. Donc le nombre de codes contenant au moins un 0 est $$10\,000-6561=3439.$$
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On choisit la lettre (4 choix), puis un 3-uplet de chiffres ($10^3$ choix). Par le principe multiplicatif : $4\times10^3=4000$ digicodes.
10 000 ; 5040 ; 3439 ; 4000