Une classe compte 12 filles et 10 garçons. On choisit une délégation de 4 élèves, sans rôle particulier.
- Combien de délégations sont possibles ?
- Combien de délégations comportent exactement 2 filles et 2 garçons ?
- Combien de délégations comportent au moins une fille ?
- Combien de délégations comportent au moins une fille et au moins un garçon ?
Une délégation est une partie à 4 éléments de la classe.
Pour la question 2, choisir les filles puis les garçons.
Pour « au moins une fille », compter les délégations sans fille.
Pour la question 4, retirer du total les délégations formées uniquement de garçons et celles formées uniquement de filles.
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Une délégation est une partie à 4 éléments d'un ensemble de 22 élèves : $$\binom{22}{4}=\frac{22\times21\times20\times19}{24}=\frac{175\,560}{24}=7315.$$
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On choisit 2 filles parmi 12, puis 2 garçons parmi 10 : $$\binom{12}{2}\times\binom{10}{2}=66\times45=2970.$$
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Les délégations sans fille sont formées de 4 garçons : $\binom{10}{4}=\dfrac{10\times9\times8\times7}{24}=210$. Donc $7315-210=7105$ délégations comportent au moins une fille.
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Le contraire de « au moins une fille et au moins un garçon » est « uniquement des garçons ou uniquement des filles ». Ces deux cas sont disjoints.
- Uniquement des garçons : $\binom{10}{4}=210$.
- Uniquement des filles : $\binom{12}{4}=\dfrac{12\times11\times10\times9}{24}=495$.
Donc $7315-(210+495)=7315-705=6610$ délégations.
7315 ; 2970 ; 7105 ; 6610