Somme d'une ligne du triangle de Pascal : énoncé (Terminale spé)
Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Pour tout entier naturel $n$ : $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n.$$
Démonstration : Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Pour $0\leqslant k\leqslant n$, on note $\mathcal{P}_k$ l'ensemble des parties de $E$ à $k$ éléments ; $\mathrm{card}(\mathcal{P}_k)=\binom{n}{k}$.
Toute partie de $E$ a un nombre d'éléments compris entre $0$ et $n$, et un seul : les ensembles $\mathcal{P}_0,\ldots,\mathcal{P}_n$ sont deux à deux disjoints et leur réunion est $\mathcal{P}(E)$. Par le principe additif : $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=\mathrm{card}\big(\mathcal{P}(E)\big)=2^n.$$
Garnitures d'une pizza
Une pizzeria propose 10 garnitures. Un client compose sa pizza avec une ou plusieurs garnitures, toutes différentes. Une composition est une partie non vide de l'ensemble des 10 garnitures : il y en a $2^{10}-1=1024-1=1023$.
Vérification sur la ligne 4 du triangle : $1+4+6+4+1=16=2^4$.
S’entraîner
- Prolonger le triangle de Pascal
- Comité et président : une identité
- Sommes de coefficients sur une colonne
- Triangle de Pascal, programme et commissions paritaires
Dans le cours
Combinatoire et dénombrement : Somme d'une ligne du triangle de Pascal