Petit théorème de FermatCorollaire du théorème de Gauss
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À l'aide du petit théorème de Fermat, déterminer le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $11$.
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Soit $n$ un entier relatif.
a) Montrer que $n^7 - n$ est divisible par $7$.
b) Montrer que $n^7 - n$ est divisible par $2$ et par $3$.
c) En déduire que $n^7 - n$ est divisible par $42$.
Indice 1
$11$ est premier et ne divise pas $2$ : quel exposant donne $1$ ?
Indice 2
Pour la divisibilité par $3$, utiliser $n^3 \equiv n \;[3]$ et écrire $n^7 = n^3 \times n^3 \times n$.
Indice 3
Pour conclure, utiliser deux fois le corollaire du théorème de Gauss en vérifiant à chaque fois l'hypothèse.
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