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Montrer que tout nombre premier impair est congru à $1$ ou à $3$ modulo $4$.
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Montrer par récurrence que, pour tout entier $r \geqslant 1$, un produit de $r$ entiers tous congrus à $1$ modulo $4$ est congru à $1$ modulo $4$.
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Soit $N$ un entier naturel tel que $N \equiv 3 \;[4]$. Montrer que $N$ admet au moins un diviseur premier congru à $3$ modulo $4$.
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On suppose qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ ; on les note $p_1, p_2, \dots, p_k$. On pose $N = 4p_1p_2\cdots p_k - 1$. Aboutir à une contradiction et conclure.
Un entier congru à $0$ ou $2$ modulo $4$ est pair.
Pour l'hérédité, multiplier deux congruences modulo $4$.
Décomposer $N$ en produit de nombres premiers (éventuellement répétés). Que vaudrait ce produit modulo $4$ si tous les facteurs étaient congrus à $1$ ?
Appliquer la question 3 à $N$, puis utiliser une combinaison linéaire comme dans la preuve d'Euclide.
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