Exercice corrigé : Puissances par la relation A = PDP⁻¹

On considère $$A=\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -4 \end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

1. Justifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.
2. Vérifier que $A=PDP^{-1}$.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $A^n=PD^nP^{-1}$.
4. En déduire les quatre coefficients de $A^n$ en fonction de $n$.
5. Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont définies par $u_0=3$, $v_0=1$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=5u_n-6v_n$ et $v_{n+1}=3u_n-4v_n$. Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
6. Déterminer la limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$.