Exercice corrigé : Deux lacs et un alevinage

Deux lacs sont reliés par un canal. On note $u_n$ et $v_n$ les nombres de poissons, en centaines, dans le lac $1$ et dans le lac $2$ au 1er janvier de l'année $2026+n$. On a $u_0=100$ et $v_0=50$. Chaque année :

• dans le lac $1$, $60\,\%$ des poissons restent, $10\,\%$ passent dans le lac $2$, les autres disparaissent ;
• dans le lac $2$, $70\,\%$ des poissons restent, $20\,\%$ passent dans le lac $1$, les autres disparaissent ;
• on introduit $30$ centaines de poissons dans le lac $1$ et $20$ centaines dans le lac $2$.

Partie A

1. Justifier que $u_{n+1}=0{,}6u_n+0{,}2v_n+30$ et $v_{n+1}=0{,}1u_n+0{,}7v_n+20$. Écrire cette relation sous la forme $U_{n+1}=AU_n+B$ avec $U_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$, en précisant $A$ et $B$. Calculer $U_1$.
2. Montrer que $I_2-A$ est inversible et déterminer la colonne $C$ telle que $C=AC+B$.
3. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_n=A^n(U_0-C)+C$.

Partie B

On pose $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que $P$ est inversible, calculer $P^{-1}$ et vérifier que $A=PDP^{-1}$.
2. On admet que $A^n=PD^nP^{-1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Calculer $A^n$.
3. En déduire que, pour tout $n$, $u_n=130-50\times 0{,}8^n+20\times 0{,}5^n$ et $v_n=110-50\times 0{,}8^n-10\times 0{,}5^n$.
4. Déterminer les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ et interpréter.
5. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ et de $(v_n)$.
6. À partir de quelle année le lac $2$ contiendra-t-il au moins $10\,000$ poissons ?