On considère le graphe complet d'ordre $3$, de sommets $1$, $2$, $3$, et on note $A$ sa matrice d'adjacence.
- Écrire $A$.
- Calculer $A^2$ et montrer que $A^2=A+2I_3$.
- En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
- Exprimer $A^3$ en fonction de $A$ et $I_3$, puis écrire $A^3$.
- Combien existe-t-il de chaînes de longueur $3$ du sommet $1$ au sommet $2$ ? Les écrire. Combien de chaînes fermées de longueur $3$ partent du sommet $1$ ?
Dans un graphe complet, deux sommets distincts sont toujours adjacents ; il n'y a pas de boucle.
Factoriser $A^2-A$ par $A$.
$A^3=A\times A^2$ : remplacer $A^2$ par $A+2I_3$.
-
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
-
Coefficient diagonal de $A^2$ : par exemple $(1,1)$ vaut $0+1+1=2$. Coefficient hors diagonale : par exemple $(1,2)$ vaut $0\times 1+1\times 0+1\times 1=1$. Par symétrie des rôles : $$A^2=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=A+2I_3.$$
-
De $A^2=A+2I_3$ on tire $A^2-A=2I_3$, soit $A(A-I_3)=2I_3$, donc $A\times\dfrac{1}{2}(A-I_3)=I_3$. Ainsi $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{2}(A-I_3)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$
-
$A^3=AA^2=A(A+2I_3)=A^2+2A=A+2I_3+2A=3A+2I_3$, donc $$A^3=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.$$
-
Le coefficient $(1,2)$ de $A^3$ vaut $3$ : il y a $3$ chaînes de longueur $3$ de $1$ à $2$ : $$1-2-1-2,\qquad 1-2-3-2,\qquad 1-3-1-2.$$ Le coefficient $(1,1)$ de $A^3$ vaut $2$ : il y a $2$ chaînes fermées de longueur $3$ partant de $1$, qui parcourent le triangle dans un sens ou dans l'autre : $1-2-3-1$ et $1-3-2-1$.
$A^2=A+2I_3$ ; $A^{-1}=\frac{1}{2}(A-I_3)$ ; $A^3=3A+2I_3$ ; 3 chaînes de 1 à 2 ; 2 chaînes fermées depuis 1