Produit de deux matrices : définition (Maths expertes)
Produit de deux matrices
Soient $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ et $B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$ : le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$. Le produit $AB$ est la matrice $C\in\mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R})$ de coefficients $$c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}.$$ Le coefficient $c_{ij}$ s'obtient en combinant la ligne $i$ de $A$ avec la colonne $j$ de $B$ : on multiplie terme à terme et on additionne.
Produit d'une matrice par une colonne
Soient $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ (taille $2\times 3$) et $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ (taille $3\times 1$). Le produit $AX$ existe et a la taille $2\times 1$ : $$AX=\begin{pmatrix} 1\times 1+0\times 2+2\times(-1) \\ 3\times 1+(-1)\times 2+1\times(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Le produit $XA$ n'existe pas : $X$ a $1$ colonne et $A$ a $2$ lignes.
S’entraîner
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