Utiliser la formule de MoivreDévelopper avec la formule du binômeRésoudre une équation bicarrée
Soit $\theta$ un réel. On note $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$.
- À l'aide de la formule de Moivre, exprimer $\cos(4\theta)$ et $\sin(4\theta)$ en fonction de $c$ et $s$.
- En déduire que $\cos(4\theta)=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$.
- En utilisant $\theta=\dfrac{\pi}{8}$, déterminer la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{8}$.
Indice 1
On développe $(c+is)^4$ avec les coefficients $1,4,6,4,1$ et les puissances de $i$.
Indice 2
On remplace $s^2$ par $1-c^2$ dans la partie réelle.
Indice 3
En posant $X=\cos^2\frac{\pi}{8}$, on obtient une équation du second degré ; pour choisir la bonne solution, on compare $\cos\frac{\pi}{8}$ à $\cos\frac{\pi}{4}$.
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