- À l'aide des formules d'Euler, linéariser $\cos^4\theta$, c'est-à-dire l'écrire comme combinaison de $\cos(4\theta)$, $\cos(2\theta)$ et d'une constante.
- En déduire une primitive de $\theta\mapsto\cos^4\theta$ sur $\mathbb{R}$.
- Calculer $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,\mathrm{d}\theta$.
On écrit $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et on développe la puissance 4 avec les coefficients $1,4,6,4,1$.
On regroupe $e^{4i\theta}$ avec $e^{-4i\theta}$, puis $e^{2i\theta}$ avec $e^{-2i\theta}$.
Une primitive de $\cos(k\theta)$ est $\dfrac{1}{k}\sin(k\theta)$.
1. Par la formule d'Euler puis celle du binôme : $$\cos^4\theta=\frac{\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^4}{2^4}=\frac{1}{16}\left(e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}\right),$$ car $e^{ik\theta}e^{-i(4-k)\theta}=e^{i(2k-4)\theta}$. On regroupe et on applique Euler dans l'autre sens : $$\cos^4\theta=\frac{1}{16}\left(2\cos(4\theta)+8\cos(2\theta)+6\right)=\frac18\cos(4\theta)+\frac12\cos(2\theta)+\frac38.$$ Contrôle avec $\theta=0$ : $\dfrac18+\dfrac12+\dfrac38=1=\cos^40$.
2. Une primitive est $$F(\theta)=\frac{1}{32}\sin(4\theta)+\frac14\sin(2\theta)+\frac38\theta.$$
3. $I=F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-F(0)=\dfrac{1}{32}\sin(2\pi)+\dfrac14\sin\pi+\dfrac{3\pi}{16}-0=\dfrac{3\pi}{16}$.
$\cos^4\theta=\frac18\cos4\theta+\frac12\cos2\theta+\frac38$ ; $I=\frac{3\pi}{16}$