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Lever une indétermination avec une racine carrée : la quantité conjuguée : méthode (Terminale spé)

Méthode

Lever une indétermination avec une racine carrée : la quantité conjuguée

Pour une différence de la forme $\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n}$ de type $\infty-\infty$ :

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée $\sqrt{a_n}+\sqrt{b_n}$ (qui est strictement positive).
Utiliser $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$.
Conclure avec les opérations sur les limites.

Exemple

La suite $\sqrt{n+1}-\sqrt n$

Soit $w_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$. Forme $\infty-\infty$.

$$w_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$

Le dénominateur tend vers $+\infty$ (somme de deux suites tendant vers $+\infty$). Par quotient, $\lim w_n=0$.

S’entraîner