Les suites suivantes sont définies pour $n\ge1$. Déterminer leur limite.
a) $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$
b) $b_n=\sqrt{n+3}-\sqrt n$
c) $c_n=\sqrt{4n^2+1}-n$
d) $d_n=n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)$
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée, puis développer le numérateur avec $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$.
Pour $n>0$, $\sqrt{n^2\times x}=n\sqrt x$ : cela permet de factoriser par $n$ au dénominateur.
Pour c), essayer d'abord de factoriser par $n$ : la quantité conjuguée n'est pas forcément nécessaire.
a) Forme $\infty-\infty$. En multipliant par la quantité conjuguée, strictement positive :
$$a_n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac n{\sqrt{n^2+n}+n}.$$
Comme $n>0$, $\sqrt{n^2+n}=\sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)}=n\sqrt{1+\frac1n}$. Donc
$$a_n=\frac n{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)}=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}.$$
$\lim\left(1+\dfrac1n\right)=1$ et la fonction racine est continue en $1$, donc $\lim\sqrt{1+\frac1n}=1$. Par quotient, $\lim a_n=\dfrac12$.
b) Forme $\infty-\infty$.
$$b_n=\frac{(n+3)-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt n}=\frac3{\sqrt{n+3}+\sqrt n}.$$
Le dénominateur tend vers $+\infty$ (somme), donc $\lim b_n=0$.
c) Forme $\infty-\infty$. Comme $n>0$ :
$$c_n=n\sqrt{4+\frac1{n^2}}-n=n\left(\sqrt{4+\frac1{n^2}}-1\right).$$
$\lim\sqrt{4+\frac1{n^2}}=\sqrt4=2$ (continuité de la racine en $4$), donc la parenthèse tend vers $1>0$. Comme $\lim n=+\infty$, par produit $\lim c_n=+\infty$.
d) Forme $\infty\times0$ (la parenthèse est de la forme $\infty-\infty$).
$$d_n=n\times\frac{(n^2+1)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac n{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac n{n\left(\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1\right)}=\frac1{\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1}.$$
Le dénominateur tend vers $2$, donc $\lim d_n=\dfrac12$.
a) $\dfrac12$ ; b) $0$ ; c) $+\infty$ ; d) $\dfrac12$