Lever une indétermination par factorisation du terme dominant : méthode (Terminale spé)

Soit $u_n=3n^2-5n+1$. On a $\lim 3n^2=+\infty$ et $\lim(-5n)=-\infty$ : forme $\infty-\infty$.

Pour $n\ge1$ : $u_n=n^2\left(3-\dfrac5n+\dfrac1{n^2}\right)$.

Or $\lim\dfrac5n=0$ et $\lim\dfrac1{n^2}=0$, donc $\lim\left(3-\dfrac5n+\dfrac1{n^2}\right)=3$. Comme $\lim n^2=+\infty$, par produit $\lim u_n=+\infty$.

Soit $v_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+3n}$ pour $n\ge1$. Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme $\dfrac{\infty}{\infty}$.

$$v_n=\frac{n^2\left(2+\frac1{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac3n\right)}=\frac{2+\frac1{n^2}}{1+\frac3n}$$

Le numérateur tend vers $2$, le dénominateur vers $1$. Par quotient, $\lim v_n=2$.

Avec la même méthode : $\dfrac{n+1}{n^2+1}=\dfrac{n\left(1+\frac1n\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac1n\times\dfrac{1+\frac1n}{1+\frac1{n^2}}$, qui tend vers $0\times1=0$.