Déterminer la limite des suites suivantes.
a) $a_n=\dfrac{2^n+3^n}{4^n-1}$ pour $n\ge1$
b) $b_n=\dfrac{5^n-3}{2^n+5^n}$ pour $n\in\mathbb{N}$
c) $c_n=3^n-2^n$ pour $n\in\mathbb{N}$
d) $d_n=\dfrac{4^n+(-3)^n}{4^n}$ pour $n\in\mathbb{N}$
e) $e_n=\dfrac{3^n}{2^n+1}$ pour $n\in\mathbb{N}$
Identifier la puissance qui croît le plus vite dans chaque expression.
Diviser numérateur et dénominateur par cette puissance (ou la mettre en facteur).
Utiliser $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac ab\right)^n$ et situer $\dfrac ab$ par rapport à $-1$ et $1$.
a) Forme $\dfrac\infty\infty$. On divise numérateur et dénominateur par $4^n>0$ :
$$a_n=\frac{\left(\frac12\right)^n+\left(\frac34\right)^n}{1-\left(\frac14\right)^n}.$$
Les nombres $\frac12$, $\frac34$, $\frac14$ sont dans $]-1\,;1[$ : le numérateur tend vers $0$, le dénominateur vers $1$. Donc $\lim a_n=0$.
b) Forme $\dfrac\infty\infty$. On divise par $5^n$ :
$$b_n=\frac{1-3\left(\frac15\right)^n}{\left(\frac25\right)^n+1}.$$
Le numérateur et le dénominateur tendent vers $1$. Donc $\lim b_n=1$.
c) Forme $\infty-\infty$. $c_n=3^n\left(1-\left(\frac23\right)^n\right)$. La parenthèse tend vers $1$ et $\lim3^n=+\infty$ : par produit, $\lim c_n=+\infty$.
d) $d_n=1+\dfrac{(-3)^n}{4^n}=1+\left(-\dfrac34\right)^n$. Comme $-1<-\dfrac34<1$, $\lim\left(-\frac34\right)^n=0$ et $\lim d_n=1$.
e) Forme $\dfrac\infty\infty$. On divise par $2^n$ :
$$e_n=\frac{\left(\frac32\right)^n}{1+\left(\frac12\right)^n}.$$
$\frac32>1$ donc le numérateur tend vers $+\infty$ ; le dénominateur tend vers $1$. Par quotient, $\lim e_n=+\infty$.
a) $0$ ; b) $1$ ; c) $+\infty$ ; d) $1$ ; e) $+\infty$