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Limite d'un quotient : énoncé (Terminale spé)

Propriété

Limite d'un quotient

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell\neq0$ ou $\infty$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'\neq0$	$\infty$	$0$, avec $v_n$ de signe constant	$\ell'$	$\infty$	$0$
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$\infty$	$\infty$	FI	FI

Le signe de l'infini s'obtient encore par la règle des signes. Par exemple, si $\lim u_n=2$ et si $v_n>0$ avec $\lim v_n=0$, alors $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=+\infty$.

Attention

Les quatre formes indéterminées

Il y a quatre formes indéterminées :

$$\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad \frac00$$

« Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la connaissance des limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ ne suffit pas. Avec $u_n=n$, qui tend vers $+\infty$ :

$n\times\dfrac1n=1$ tend vers $1$ ;
$n\times\dfrac1{n^2}=\dfrac1n$ tend vers $0$ ;
$n^2\times\dfrac1n=n$ tend vers $+\infty$.

Les trois sont de la forme $\infty\times0$ et ont des limites différentes. Il faut transformer l'écriture pour conclure.

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