Les suites suivantes sont définies pour $n\ge1$. Pour chacune, identifier la forme indéterminée, puis déterminer la limite.
a) $u_n=n^3-4n^2+1$
b) $v_n=\dfrac{3n^2-n}{1-2n^2}$
c) $w_n=\dfrac{5n+2}{n^2+1}$
d) $t_n=\dfrac{n^2+1}{2n-3}$
e) $s_n=n-\sqrt n$
Repérer la puissance de $n$ la plus élevée au numérateur et au dénominateur.
Mettre ce terme en facteur, puis simplifier.
Pour e), mettre $\sqrt n$ en facteur en écrivant $n=\sqrt n\times\sqrt n$.
a) $\lim n^3=+\infty$ et $\lim(-4n^2)=-\infty$ : forme $\infty-\infty$. Pour $n\ge1$ :
$$u_n=n^3\left(1-\frac4n+\frac1{n^3}\right).$$
La parenthèse tend vers $1$ et $\lim n^3=+\infty$. Par produit, $\lim u_n=+\infty$.
b) Le numérateur tend vers $+\infty$ (même méthode : $3n^2-n=n^2(3-\frac1n)$), le dénominateur vers $-\infty$ : forme $\dfrac\infty\infty$.
$$v_n=\frac{n^2\left(3-\frac1n\right)}{n^2\left(\frac1{n^2}-2\right)}=\frac{3-\frac1n}{\frac1{n^2}-2}.$$
Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $-2\neq0$. Par quotient, $\lim v_n=-\dfrac32$.
c) Forme $\dfrac\infty\infty$.
$$w_n=\frac{n\left(5+\frac2n\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\frac1n\times\frac{5+\frac2n}{1+\frac1{n^2}}.$$
Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $5$. Par produit, $\lim w_n=0$.
d) Forme $\dfrac\infty\infty$. Le dénominateur ne s'annule pour aucun entier.
$$t_n=\frac{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}{n\left(2-\frac3n\right)}=n\times\frac{1+\frac1{n^2}}{2-\frac3n}.$$
Le quotient tend vers $\dfrac12>0$ et $\lim n=+\infty$. Par produit, $\lim t_n=+\infty$.
e) Forme $\infty-\infty$. Comme $n=\sqrt n\times\sqrt n$ :
$$s_n=\sqrt n\left(\sqrt n-1\right).$$
$\lim\sqrt n=+\infty$ et $\lim(\sqrt n-1)=+\infty$. Par produit, $\lim s_n=+\infty$.
a) $+\infty$ ; b) $-\dfrac32$ ; c) $0$ ; d) $+\infty$ ; e) $+\infty$