Suite géométrique de premier terme $u_0$ : énoncé (Terminale spé)

• $u_n=5\times0{,}8^n$ : $-1<0{,}8<1$, donc $\lim u_n=0$.
• $v_n=-2\times3^n$ : $3>1$ et $-2<0$, donc $\lim v_n=-\infty$.
• $w_n=\dfrac{3^n-2^n}{3^n+1}$ : forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On divise numérateur et dénominateur par $3^n$ :

$$w_n=\frac{1-\left(\frac23\right)^n}{1+\left(\frac13\right)^n}.$$

Comme $\frac23$ et $\frac13$ sont dans $]-1\,;1[$, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $1$ : $\lim w_n=1$.

Pour $q\neq1$ : $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Avec $q=\frac12$ : $S_n=1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\left(\dfrac12\right)^n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=2\left(1-\left(\frac12\right)^{n+1}\right)$.

Comme $\lim\left(\frac12\right)^{n+1}=0$, $\lim S_n=2$.

Plus généralement, si $-1<q<1$, $\lim(1+q+\cdots+q^n)=\dfrac1{1-q}$.

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$. On pose $v_n=u_n-6$ (le nombre $6$ est la solution de $x=0{,}5x+3$).

$$v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5\,u_n-3=0{,}5\,(u_n-6)=0{,}5\,v_n.$$

$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=-6$. Donc $v_n=-6\times0{,}5^n$ et $u_n=6-6\times0{,}5^n$.

Comme $-1<0{,}5<1$, $\lim0{,}5^n=0$, donc $\lim u_n=6$. Vérification : $u_1=3=6-6\times0{,}5$.