Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour $n\ge1$ (et $n\ge2$ pour la dernière).
a) $u_n=2n^2+\sqrt n$
b) $v_n=\left(3-\dfrac1n\right)(n+5)$
c) $w_n=\dfrac4{\sqrt n+1}$
d) $t_n=-5+\dfrac2{n^3}$
e) $s_n=\left(\dfrac1n-2\right)n^2$
f) $r_n=\dfrac5{\frac1n-\frac1{\sqrt n}}$ pour $n\ge2$
Décomposer chaque suite en somme, produit ou quotient de suites de référence.
Vérifier à chaque fois qu'on n'est pas face à une forme indéterminée.
Pour f), le dénominateur tend vers $0$ : étudier son signe pour $n\ge2$.
a) $\lim n^2=+\infty$, donc $\lim2n^2=+\infty$ ($2>0$). De plus $\lim\sqrt n=+\infty$. Par somme, $\lim u_n=+\infty$.
b) $\lim\dfrac1n=0$, donc $\lim\left(3-\dfrac1n\right)=3$. De plus $\lim(n+5)=+\infty$. Par produit (avec $3>0$), $\lim v_n=+\infty$.
c) $\lim(\sqrt n+1)=+\infty$. Par quotient d'une constante par une suite tendant vers $+\infty$, $\lim w_n=0$.
d) $\lim n^3=+\infty$ donc $\lim\dfrac2{n^3}=0$. Par somme, $\lim t_n=-5$.
e) $\lim\left(\dfrac1n-2\right)=-2$ et $\lim n^2=+\infty$. Par produit et règle des signes ($-2<0$), $\lim s_n=-\infty$.
f) Le numérateur vaut $5$. Le dénominateur $d_n=\dfrac1n-\dfrac1{\sqrt n}$ tend vers $0-0=0$.
Signe de $d_n$ : pour $n\ge2$, $\sqrt n>1$, donc $n=\sqrt n\times\sqrt n>\sqrt n>0$, d'où $\dfrac1n<\dfrac1{\sqrt n}$, c'est-à-dire $d_n<0$.
Le dénominateur tend vers $0$ en restant strictement négatif et le numérateur vaut $5>0$. Par quotient, $\lim r_n=-\infty$.
a) $+\infty$ ; b) $+\infty$ ; c) $0$ ; d) $-5$ ; e) $-\infty$ ; f) $-\infty$