On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\ge1$ par $u_n=3+\dfrac2n$ et la suite $(v_n)$ définie pour $n\in\mathbb{N}$ par $v_n=2n-5$.
- Déterminer un entier $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $u_n\in\,]2{,}99\,;3{,}01[$.
- Soit $]a\,;b[$ un intervalle ouvert contenant $3$. Montrer que tous les termes de $(u_n)$ appartiennent à $]a\,;b[$ à partir d'un certain rang. Que vient-on de démontrer ?
- Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $v_n>1000$.
- Démontrer, à l'aide de la définition, que $\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.
Comparer d'abord $u_n$ à $3$ : la borne de gauche est-elle une contrainte ?
Résoudre l'inéquation $u_n<b$ d'inconnue $n$, en se souvenant que $b-3>0$.
Pour la question 4, résoudre $v_n>A$ pour un réel $A$ quelconque.
1. Pour tout $n\ge1$, $\dfrac2n>0$, donc $u_n>3>2{,}99$ : la borne de gauche est toujours respectée.
De plus, comme $n>0$ :
$$u_n<3{,}01\iff\frac2n<0{,}01\iff2<0{,}01\,n\iff n>200.$$
Ainsi, pour tout $n\ge201$, $u_n\in\,]2{,}99\,;3{,}01[$. On peut prendre $N=201$ (c'est le plus petit rang possible, car $u_{200}=3{,}01$ n'appartient pas à l'intervalle ouvert).
2. Comme $]a\,;b[$ contient $3$, on a $a<3<b$, donc $b-3>0$.
- Pour tout $n\ge1$, $u_n>3>a$.
- $u_n<b\iff\dfrac2n<b-3\iff n>\dfrac2{b-3}$.
Notons $N$ le premier entier strictement supérieur à $\dfrac2{b-3}$. Pour tout $n\ge N$, on a $n>\dfrac2{b-3}$, donc $u_n<b$, et aussi $u_n>a$.
Tous les termes à partir du rang $N$ sont donc dans $]a\,;b[$. Cela étant vrai pour tout intervalle ouvert contenant $3$, on a démontré que $\lim_{n\to+\infty}u_n=3$.
3. Pour $n\in\mathbb{N}$ :
$$v_n>1000\iff2n>1005\iff n>502{,}5\iff n\ge503.$$
Tous les entiers $n\ge503$ conviennent, et $v_{502}=999$ ne convient pas. Le plus petit entier cherché est $N=503$.
4. Soit $A$ un réel. Pour $n\in\mathbb{N}$ :
$$v_n>A\iff2n>A+5\iff n>\frac{A+5}2.$$
Notons $N$ le premier entier naturel strictement supérieur à $\dfrac{A+5}2$. Pour tout $n\ge N$, $v_n>A$. Ainsi, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A\,;+\infty[$ contient tous les termes de $(v_n)$ à partir du rang $N$ : $\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.
$N=201$ ; $\lim u_n=3$ ; $N=503$ ; $\lim v_n=+\infty$