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Théorème de convergence monotone (admis) : énoncé (Terminale spé)
Théorème
Théorème de convergence monotone (admis)
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Attention
Ce que le théorème ne dit pas
Le théorème donne l'existence d'une limite, pas sa valeur. Si $(u_n)$ est croissante et majorée par $M$, sa limite $\ell$ vérifie $\ell\le M$ (passage à la limite), mais n'est pas forcément égale à $M$.
Exemple : $u_n=1-\dfrac1n$ ($n\ge1$) est croissante et majorée par $2$, mais sa limite est $1$.
S’entraîner
- Convergence monotone pour des sommes
- Suite décroissante $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$
- Une suite non monotone qui converge vers le nombre d'or
Dans le cours
Limites de suites : Théorème de convergence monotone (admis)