Étudier une suite $u_{n+1}=f(u_n)$Démontrer un encadrement et une monotonie par récurrenceAppliquer le théorème de convergence monotoneDéterminer la limite par un point fixe
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2\,;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
- Justifier que $f$ est croissante sur $[-2\,;+\infty[$. Calculer $u_1$ et une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-3}$ près.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2\le u_{n+1}\le u_n\le5$.
- En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ et que $2\le\ell\le5$.
- Déterminer $\ell$.
Indice 1
$f$ est la composée d'une fonction affine croissante et de la fonction racine.
Indice 2
Dans l'hérédité, appliquer $f$, croissante sur $[2\,;5]$, à chaque membre de l'encadrement.
Indice 3
Une suite décroissante et minorée converge ; la limite vérifie $f(\ell)=\ell$ car $f$ est continue.
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