Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=1+\dfrac1{u_n}$. On note $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2$.
- Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ sous forme de fractions. La suite est-elle monotone ?
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n$, $u_n$ est bien défini et $1\le u_n\le2$.
- Vérifier que $\varphi^2=\varphi+1$, puis que $\varphi=1+\dfrac1\varphi$ et $\varphi-1=\dfrac1\varphi$.
- Démontrer que, pour tout $n$, $|u_{n+1}-\varphi|\le\dfrac1\varphi\,|u_n-\varphi|$.
- En déduire par récurrence que, pour tout $n$, $|u_n-\varphi|\le\left(\dfrac1\varphi\right)^{n+1}$.
- Conclure sur la limite de $(u_n)$.
Pour la question 2, passer à l'inverse dans $1\le u_n\le2$ en faisant attention au sens des inégalités.
Pour la question 4, écrire $u_{n+1}-\varphi=\dfrac1{u_n}-\dfrac1\varphi$ et réduire au même dénominateur.
Pour conclure, transformer l'inégalité sur la valeur absolue en un encadrement de $u_n$, et vérifier que $0<\dfrac1\varphi<1$.
1. $u_1=1+1=2$, $u_2=1+\dfrac12=\dfrac32$, $u_3=1+\dfrac23=\dfrac53$, $u_4=1+\dfrac35=\dfrac85$.
On a $u_0<u_1$ mais $u_1>u_2$ : la suite n'est pas monotone. Le théorème de convergence monotone ne s'applique pas directement.
2. Notons $P(n)$ : « $u_n$ est défini et $1\le u_n\le2$ ».
Initialisation. $u_0=1\in[1\,;2]$.
Hérédité. Si $1\le u_n\le2$, alors $u_n\neq0$ donc $u_{n+1}$ est défini. La fonction inverse étant décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : $\dfrac12\le\dfrac1{u_n}\le1$, donc $\dfrac32\le u_{n+1}\le2$, et a fortiori $1\le u_{n+1}\le2$.
Conclusion. Pour tout $n$, $1\le u_n\le2$.
3. $\varphi^2=\dfrac{1+2\sqrt5+5}4=\dfrac{6+2\sqrt5}4=\dfrac{3+\sqrt5}2=\dfrac{1+\sqrt5}2+1=\varphi+1$.
Comme $\varphi\neq0$, en divisant par $\varphi$ : $\varphi=1+\dfrac1\varphi$, donc $\varphi-1=\dfrac1\varphi$.
4. Pour tout $n$, d'après la question 3 :
$$u_{n+1}-\varphi=\left(1+\frac1{u_n}\right)-\left(1+\frac1\varphi\right)=\frac1{u_n}-\frac1\varphi=\frac{\varphi-u_n}{u_n\,\varphi}.$$
Donc $|u_{n+1}-\varphi|=\dfrac{|u_n-\varphi|}{u_n\,\varphi}$. Comme $u_n\ge1$ et $\varphi>0$, $u_n\varphi\ge\varphi$, d'où $\dfrac1{u_n\varphi}\le\dfrac1\varphi$ et
$$|u_{n+1}-\varphi|\le\frac1\varphi\,|u_n-\varphi|.$$
5. Notons $Q(n)$ : « $|u_n-\varphi|\le\left(\frac1\varphi\right)^{n+1}$ ».
Initialisation. $|u_0-\varphi|=|1-\varphi|=\varphi-1=\dfrac1\varphi$ (car $\varphi>1$). $Q(0)$ est vraie.
Hérédité. Si $Q(n)$ est vraie, la question 4 donne $|u_{n+1}-\varphi|\le\dfrac1\varphi\times\left(\dfrac1\varphi\right)^{n+1}=\left(\dfrac1\varphi\right)^{n+2}$ : $Q(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $n$, $|u_n-\varphi|\le\left(\frac1\varphi\right)^{n+1}$.
6. L'inégalité précédente s'écrit, pour tout $n$ :
$$\varphi-\left(\frac1\varphi\right)^{n+1}\le u_n\le\varphi+\left(\frac1\varphi\right)^{n+1}.$$
Comme $\sqrt5>1$, $\varphi>1$, donc $0<\dfrac1\varphi<1$ et $\lim\left(\frac1\varphi\right)^{n+1}=0$. Les deux suites encadrantes tendent vers $\varphi$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim u_n=\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2$.
$\lim u_n=\dfrac{1+\sqrt5}2$