Position des termes par rapport à la limite : énoncé (Terminale spé)
Position des termes par rapport à la limite
Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors pour tout $n$, $u_n\le\ell$.
Si $(u_n)$ est décroissante et converge vers $\ell$, alors pour tout $n$, $u_n\ge\ell$.
Démonstration : Position des termes par rapport à la limite
Démonstration (par l'absurde)
Soit $(u_n)$ croissante, convergeant vers $\ell$. Supposons qu'il existe un entier $p$ tel que $u_p>\ell$.
Par croissance, pour tout $n\ge p$, $u_n\ge u_p$. L'intervalle ouvert $]\ell-1\,;u_p[$ contient $\ell$, mais ne contient aucun terme $u_n$ pour $n\ge p$. Cela contredit la définition de la convergence vers $\ell$.
Donc pour tout $n$, $u_n\le\ell$.
Prouver une convergence sans connaître la limite
Soit, pour $n\ge1$, $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}=1+\frac14+\cdots+\frac1{n^2}$.
Monotonie. $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)^2}>0$ : la suite est croissante.
Majoration. Pour $k\ge2$, $k^2\ge k(k-1)>0$, donc $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k(k-1)}=\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$. En sommant de $k=2$ à $k=n$, les termes se simplifient deux à deux :
$$u_n\le1+\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=2-\frac1n<2.$$
Conclusion. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge, vers une limite $\ell\le2$.
Hors programme
On peut démontrer que la limite de la suite précédente vaut $\dfrac{\pi^2}{6}\approx1{,}645$. Ce résultat est hors programme ; seule l'existence de la limite est accessible ici.
S’entraîner
- Utiliser la définition de la limite
- Opérations sur les limites
- Lever une indétermination par le terme dominant
- Limites de suites géométriques
- Comparaison et gendarmes avec $(-1)^n$ et $\sin n$
Dans le cours
Limites de suites : Position des termes par rapport à la limite