Étudier le sens de variation d'une suite définie par une sommeMajorer à l'aide d'une somme géométriqueAppliquer le théorème de convergence monotoneMinorer pour obtenir une limite infinie
Pour $n\ge1$, on pose
$$v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k\,2^k}=\frac12+\frac18+\cdots+\frac1{n\,2^n}\qquad\text{et}\qquad w_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k}.$$
- Montrer que $(v_n)$ est croissante.
- Montrer que, pour tout $k\ge1$, $\dfrac1{k\,2^k}\le\left(\dfrac12\right)^k$. En déduire que, pour tout $n\ge1$, $v_n\le1-\left(\dfrac12\right)^n$.
- En déduire que $(v_n)$ converge vers un réel $\ell$ et donner un encadrement de $\ell$.
- Montrer que, pour tout $n\ge1$, $w_n\ge\sqrt n$. En déduire la limite de $(w_n)$.
Indice 1
Calculer $v_{n+1}-v_n$ : un seul terme subsiste.
Indice 2
La somme $\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\left(\dfrac12\right)^n$ est une somme de termes géométriques.
Indice 3
Pour la question 4, comparer chaque terme $\dfrac1{\sqrt k}$ au plus petit d'entre eux.
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